欧宝综合app

布局优化设想根基体例
作者:小易宣布日期:2021-02-17

讲授计划法


  数学计划法的命题是:求n个变量xi(i=l,2,…,n),知足m个束缚前提Gj(xi)≤0 (j=l,2,…,m),且使方针函数W(xi)为最小(或最大)。若是束缚前提和方针函数都是xi的线性函数,这便是线性计划题目,已有成熟的解法;若是在这些函数中有一个长短线性函数,便成为非线性计划题目。跟着非线性函数的性子和情势的差别,非线性计划题目有良多范例,特别的解法良多,在利用上各有规模性,不遍及合用的最好解法。


  用数学计划法来作布局优化设想,变量xi便代表能够变更的各类布局参数,如元件截面积或厚度、节点地位、资料性子等;束缚前提Gj(xi)≤0代表设想必须知足的各类限定,比方布局各部位的静应力,动应力或变位不得跨越划定的允许值,元件的截面或厚度尺寸不得超越给定的规模,布局的频次不应落在某个禁区,布局的失稳临界力或飞翔器的颤振速率不得小于某一上限,等等;而方针函数则代表布局优化所寻求的方针,比方,布局分量最小和本钱最高等能够定量的方针;也可将分量、造价作为束缚前提,而把某种布局机能,比方刚度作为方针函数。


  数学计划法的根基方针是,在以设想变量为坐标的多维空间里搜刮最长处。若是有n个设想变量,则响应的n维设想变量空间中的每一个点都代表一个设想计划。在无穷多的点中要尽快地搜刮出既知足一切的束缚前提,又能使方针函数尽能够靠近最小值(或最大值)的点,便是数学计划设想法的使命,这类搜刮的进程称为“优化进程”。


  附图表现一个二维设想空间,图中的一簇曲线是方针函数W(x1,x2)为常数的等值线。束缚函数Gj(x1,x2)为零的曲线所围成的地区是可行域。A、B、C点各代表一个可行的计划.围线之外的点(如D)不知足束缚前提,以是是不可行计划。明显,知足束缚前提并使方针函数W最小的最优计划点是M。数学计划便是要以最敏捷的体例找到点M。


  这比如在山坡上—个用栅栏围起来的地区里找最低点,若是这个山坡不是凹的,则能够判定最低点必在栅栏地点的边境上。数学计划供给了良多搜刮的方式,根基准绳都是在选好一个动身点后,颠末阐发判定,找出一个迈步的有益标的目的,沿这个标的目的跨出有益的步长以到达新的一点。再今后点动身,反复上述进程,一步一步走下去,直到再也找不到可走的有益标的目的,便是到达了最低点。从第n点到第(n+1)点这一步可抒发为:


  式中  为有益标的目的,为有益步长系数,它们依托在点停止的阐发所供给的信息来肯定。比方,从可行点A动身,沿着等高线的梯度负向,即最陡降落标的目的慢慢走到边境点1,而后再沿着边境慢慢走到最低点M,这个体例叫作梯度投影法。现实上另有良多其余的体例。能够看出,若是初始动身点选的是B,用一样的走法也能够走到最低点M;但若是初始点选的是C,那就会走到另外一个部分最低点N。M点代表全局最优解,由于它是全数可行域中的最低点。


  N点只是在它四周的可行域中的最低点,以是是部分最优解。此刻还不一个靠得住的合用体例能保障搜刮到的解一定是全局最优解。普通是在能够的环境下取多少差别的动身点作几回搜刮,以期找到全局最优解。


  若是是线性计划题目,搜刮进程就简洁很多。以是偶然把非线性题目转化成一系列线性题目来迫近。为此,在某一设想点四周将方针函数和束缚函数都线性化,也便是在该点将函数作泰勒睁开,并只保留它们的线性项。而后作有一定步长限定的线性计划,获得新的一点。如斯反复下去,直到收敛于最长处为止。


  由于不带束缚的计划题目比拟轻易作,以是偶然也把有束缚题目转化成一个序列的无束缚题目。为此,能够把束缚表现成一个罚函数加到方针函数上去,组成一个新的方针函数,即式中即为罚函数,r是个相称小的负数,它在序列无束缚题目中,逐次减小。由于r值很小,今世表某一设想计划的点在分开边境较远的可行域外部步履时,;可是当靠近可行域的边境.某束缚函数Gj(xi)将由负值趋近于零,因而罚函数急剧增大,是以,的最小点不能够超出可行域边境。


  r越小,无束缚题方针W最小点越靠近于有束缚题方针W最小点。可是若是一起头就取很小的r,无束缚题目将碰到收敛上的坚苦,以是有须要将有束缚题目化成一个序列的无束缚题目,让系数r在这个序列中逐步减小到恰当的水平。


  另外,另有一些非线性计划的特别体例,如多少计划和静态计划,各有其顺应的规模,在布局优化设想中也获得利用。


  优化原则法


  以知足某种原则来取代方针函数在束缚前提下取极值的体例,叫作优化原则法。最简略的一个优化原则法,便是后面提到的满应力设想体例。只要对内力散布不随设想变量转变而变更的静定布局,并且允许应力与设想变量有关的环境下,能力经由过程一次布局阐发和点窜设想得出满应力布局。对其余环境,为使各元件趋势于满应力,必须停止以下的选代:


  式中  和  为第n次迭代的第i元件的截面积和最大应力,为第i元件的允许应力。公式给出颠末批改的第i元件的截面积。迭代收敛时,就到达的满应力原则。满应力原则和布局最小分量之间不一定的接洽,可是普通的满应力设想能够相称靠近于乃至就即是最轻设想。固然,这个体例只合用于受应力束缚的最轻设想题目。